Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values
Define the \emph{Collatz map} $\mathrm{Col} : \mathbb{N}+1 \to \mathbb{N}+1$ on the positive integers $\mathbb{N}+1 = \{1,2,3,\dots\}$ by setting $\mathrm{Col}(N)$ equal to $3N+1$ when $N$ is odd and $N/2$ when $N$ is even, and let $\mathrm{Col}_{\min}(N) := \inf_{n \in \mathbb{N}} \mathrm{Col}^n(N)$ denote the minimal element of the Collatz orbit $N, \mathrm{Col}(N), \mathrm{Col}^2(N), \dots$. The infamous \emph{Collatz conjecture} asserts that $\mathrm{Col}_{\min}(N)=1$ for all $N \in \mathbb{N}+1$. Previously, it was shown by Korec that for any $\theta > \frac{\log 3}{\log 4} \approx 0.7924$, one has $\mathrm{Col}_{\min}(N) \leq N^\theta$ for almost all $N \in \mathbb{N}+1$ (in the sense of natural density). In this paper we show that for \emph{any} function $f : \mathbb{N}+1 \to \mathbb{R}$ with $\lim_{N \to \infty} f(N)=+\infty$, one has $\mathrm{Col}_{\min}(N) \leq f(N)$ for almost all $N \in \mathbb{N}+1$ (in the sense of logarithmic density). Our proof proceeds by establishing an approximate transport property for a certain first passage random variable associated with the Collatz iteration (or more precisely, the closely related Syracuse iteration), which in turn follows from estimation of the characteristic function of a certain skew random walk on a $3$-adic cyclic group at high frequencies. This estimation is achieved by studying how a certain two-dimensional renewal process interacts with a union of triangles associated to a given frequency.
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tyamada1093: RT @marx_saul: https://t.co/NzbSl8D3tC タオ以前の結果だが、どんな手法使ったら log 3 / log 4 とかいう数字が出るんだマジで
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QuangThaiNgo1: Un nombre entier positif donné: - s’il est pair, divisons le par 2 - s’il est impair, multiplions le par 3 et ajoutons 1. - Repeat La conjecture Syracuse: on finit par tomber sur 1. Terence Tao annonce qu'il dispose de résultats partiels pour la prouver: https://t.co/g6iLz0rc8i https://t.co/izWt9FygFT
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syoken_ac: テレンスタオ氏がコラッツ予想に挑んでいる模様 https://t.co/ZgFo9C955H
syoken_ac: RT @YohsukeW: テレンスタオ氏が先日アーカイブに投稿した論文。また数学の歴史が一歩前に進みました。 https://t.co/NhW9NWByIs
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kazune_lab: @DrTanimura 谷村君最近確率論の勉強しているらしいから読んでみればって言ってみるだけ言ってみる: https://t.co/cHzni7laxN 今 2 節以降読んでいる感じだと結構面白いぞ。予備知識は谷村君なら間違いなくカンスト。
kazune_lab: https://t.co/cHzni7laxN After getting up, I started to read the sections after Sec. 2. I feel that we can follow the argument given we know basic probability theory and basic Fourier analysis (or analytic number theory(?)).
meshmesh_tk69: RT @tyamada1093: Collatz予想が大きく解決に近付いた!? https://t.co/osoPDCeAq3
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zumechanmokyu: @nishinojunji 読んでないので何ページ相当のギャップがあるのかわかんないですけどとても多いと思います。 https://t.co/C7sQiGf7dT
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MathType: Terence Tao just published a partial result on thealmost century old Collatz Conjecture. While it is not yet solved, any step forward is celebrated #NumberTheory Link to his personal blog with the details: https://t.co/HM4OPCNOJ3 Link to the paper: https://t.co/oJO3pndXgA https://t.co/BXTYjAPdKO
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ggerardk: Als ik het goed begrijp zijn er ontwikkelingen t.a.v. het beroemde/beruchte vermoeden van Collatz, dat heel eenvoudig te formuleren is, maar ontzettend moeilijk te bewijzen blijkt. Terence Tao heeft eergisteren een publicatie op arXiv gezet https://t.co/doT9ZH5TiA
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nikitab: “Almost bounded” sounds a bit like “almost pregnant” to me, neat that it can be defined rigorously https://t.co/NaQtA5Y8tD https://t.co/UUfyWwF6aV
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PPSPSSSPPP: RT @mathPRb: Terence Tao : Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values https://t.co/kN5plNAGTW https://t.co/ct653MTvgz
BristOliver: Wow, another serious Terry Tao paper, on the Collatz "3N+1" problem (which I assumed was too hard to say anything interesting about): "Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values" https://t.co/wUXFX2OZUz
mathPRb: Terence Tao : Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values https://t.co/kN5plNAGTW https://t.co/ct653MTvgz
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